Question

若點(diǎn)P在△AOB的邊AB上，且

OP

=m

OA

+4n

OB

（m，n∈R），則mn的最大值為

 

．

Answer 1

分析：求出

AP

 和

PB

，由

AP

∥

PB

，可得 m+4n=1，利用基本不等式可得 mn≤

1

16

，從而得到答案．

解答：解：∵

AP

=

OP

-

OA

=（m-1）

OA

+4n

OB

，

PB

=

OB

-

OP

=-m

OA

+（1-4n）

OB

，
由于點(diǎn)P在△AOB的邊AB上，故m、n 都是正數(shù)，且

AP

∥

PB

，∴（m-1）（1-4n）-4n（-m）=0，
化簡(jiǎn)可得   m+4n=1，由基本不等式可得  1≥2

4mn

，∴mn≤

1

16

，當(dāng)且僅當(dāng) m=4n=

1

2

時(shí)，
等號(hào)成立，故mn的最大值為 

1

16

，
故答案為：

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量共線(xiàn)的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式的使用條件，并注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件．