Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x|-|x-1|．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）≥|m-1|的解集非空，求實數(shù)m的取值集合M．
（2）記（1）中數(shù)集M中的最大值為k，正實數(shù)a，b滿足a²+b²=k，證明：a+b≥2ab．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的最大值，通過|m-1|≤1，求解m的范圍，得到m的最大值M．
（2）利用分析法，證明不等式成立的充分條件即可．

解答 解：（1）由已知可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x＜0}\\{2x-1，0≤x≤1}\\{1，x＞1}\end{array}\right.$，
所以f_max（x）=1，…（3分）
所以只需|m-1|≤1，解得-1≤m-1≤1，∴0≤m≤2，
所以實數(shù)m的最大值M=2…（5分）
（2）因為a＞0，b＞0，
所以要證a+b≥2ab，只需證（a+b）²≥4a²b²，
即證a²+b²+2ab≥4a²b²，
所以只要證2+2ab≥4a²b²，…（7分）
即證2（ab）²-ab-1≤0，
即證（2ab+1）（ab-1）≤0，因為2ab+1＞0，所以只需證ab≤1，
下證ab≤1，
因為2=a²+b²≥2ab，所以ab≤1成立，
所以a+b≥2ab…（10分）

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查分析法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力．