Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2ωx-

π

3

）（ω＞0）與g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜

π

2

）有相同的對稱中心．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)g（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)h（x）的圖象，求函數(shù)h（x）在[-

π

3

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得f（x），g（x）的周期相同，求出ω的值，可得f（x）的解析式；再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由條件利用誘導公式可得

π

2

+ϕ=-

π

3

+kπ，k∈Z，求得ϕ=

π

6

，可得g（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得h（x）的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x），g（x）有相同的對稱中心，∴f（x），g（x）的周期相同．
由題知g（x）的周期為

2π

2

=π，故對f（x），由

2π

2ω

=π，得ω=1，∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)．
則-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

12

+kπ ，  

5π

12

+kπ]，k∈Z．
（2）∵g（x）=cos（2x+φ）=sin（2x+φ+

π

2

），f（x）=2sin（2x-

π

3

）與g（x）有相同的對稱中心，
∴φ+

π

2

=kπ-

π

3

，k∈Z，結(jié)合|ϕ|＜

π

2

，得ϕ=

π

6

，∴g（x）=cos（2x+

π

6

）．
∴h（x）=cos[2（x-

π

6

）+

π

6

]+1=cos（2x-

π

6

）+1．
∵x∈[-

π

3

 ，  

π

3

]，則2x-

π

6

∈[-

5π

6

 ，  

π

2

]，由余弦函數(shù)的圖象可知cos(2x-

π

6

)∈[-

3

2

 ，  1]，
∴h（x）∈[-

3

2

，1]．

點評：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及圖象的對稱性，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．