Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，對(duì)于一切的n∈N^*均有a≤a_n－a_n＋1成立．

(1)證明：數(shù)列{a_n}中的任意一項(xiàng)都小于1；

(2)探究a_n與的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

 (1)由a≤a_n－a_n＋1得a_n＋1≤a_n－a.

∵在數(shù)列{a_n}中a_n>0，∴a_n＋1>0，

∴a_n－a>0，∴0<a_n<1，

故數(shù)列{a_n}中的任何一項(xiàng)都小于1.

(2)解法1：由(1)知0<a_n<1＝，

那么a₂≤a₁－a＝－

由此猜想：a_n<.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)猜想正確．

①當(dāng)n＝2時(shí)，顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N)時(shí)，有a_k<≤成立．

那么a_k＋1≤a_k－a＝－

∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也正確．

綜上所述，對(duì)于一切n∈N^*，都有a_n<.

解法2：由a≤a_n－a_n＋1，

得0<a_k＋1≤a_k－a＝a_k(1－a_k)，

令k＝1,2,3，…，n－1得：