Question

【題目】已知數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列的前項和滿足且.

(1)求數(shù)列，的通項公式；

(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和;

(3)數(shù)列中是否存在不同的三項，，，使這三項恰好構(gòu)成等差數(shù)列?若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) (3) 不存在不同的三項，，，使之成等差數(shù)列.理由見解析

【解析】

(1)利用通項公式與前n項和的關(guān)系可求得數(shù)列的通項公式，構(gòu)造新數(shù)列為等差數(shù)列，首先求得，然后可得數(shù)列的通項公式，注意分情況討論和兩種情況；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論首先確定數(shù)列的通項公式，然后利用錯位相減求和的方法可得數(shù)列的前項和;

(3)利用反證法，首先假設(shè)存在不同的三項，，滿足題意，然后結(jié)合所給的表達(dá)式得出矛盾即可說明滿足題意的三項是不存在的.

(1)當(dāng)時，.

，①

當(dāng)時，.②

①-②得，，

，故成等比數(shù)列，公比，

又，.

，，

數(shù)列是一個首項為，公差為的等差數(shù)列，

，，

當(dāng)時，，

且滿足，

.

（2），

.①

.②

①-②，得.

.

（3）且，.

假設(shè)存在不同的三項，，，恰好構(gòu)成等差數(shù)列，則，

即，化簡得.

兩邊同除以，得.（*）

不妨設(shè)，則，則，且，，與（*）矛盾.

不存在不同的三項，，，使之成等差數(shù)列.