Question

【題目】已知，函數(shù)，.

（1）若在上單調(diào)遞增，求正數(shù)的最大值；

（2）若函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出的單調(diào)遞增區(qū)間，令，得，可知區(qū)間，即可求出正數(shù)的最大值；（2）令，當(dāng)時(shí)，，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在的零點(diǎn)問(wèn)題，分類討論即可求出答案.

解：（1）由，

得，.

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，

令，得時(shí)單調(diào)遞增，

所以解得，可得正數(shù)的最大值為.

（2），

設(shè)，當(dāng)時(shí)，.它的圖形如圖所示.

又，則，，令，

則函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，可知在內(nèi)最多一個(gè)零點(diǎn).

①當(dāng)0為的零點(diǎn)時(shí)，顯然不成立；

②當(dāng)為的零點(diǎn)時(shí)，由，得，把代入中，

得，解得，，不符合題意.

③當(dāng)零點(diǎn)在區(qū)間時(shí)，若，得，此時(shí)零點(diǎn)為1，即，由的圖象可知不符合題意；

若，即，設(shè)的兩根分別為，，由，且拋物線的對(duì)稱軸為，則兩根同時(shí)為正，要使在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)，

所以解得.

綜上，的取值范圍為.