Question

已知⊙C₁：x²+y²-6x-2y+6=0，⊙C₂：x²+y²-2x-4y+4=0，試在兩圓公共弦所在直線上求一點P，使P到兩圓的切線長為3．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：由題意求出圓心坐標(biāo)和半徑，將兩圓方程相減得公共弦所在直線方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)切線長公式列出方程，求出x的值，代入直線方程求出y，即求出點P的坐標(biāo)．

解答： 解：由題意得，⊙C₁：x²+y²-6x-2y+6=0，⊙C₂：x²+y²-2x-4y+4=0，
所以C₁（3，1），半徑r₁=2，C₂（1，2），r₂=1，
將兩圓方程相減得，公共弦所在直線方程為4x-2y-2=0，即2x-y-1=0，
所以設(shè)P（x，2x-1），
因為P到兩圓的切線長為3，
所以由勾股定理得，（x-3）²+（2x-1-1）²-4=（x-1）²+（2x-1-2）²-1=9
解得，x=0 或 x=

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5

，代入2x-y-1=0，解得y=-1或

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5

，
因此，所求P的坐標(biāo)為（0，-1）或（

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5

，

23

5

）．

點評：本題考查兩圓相交時公共弦所在直線方程，以及切線長公式，屬于中檔題．