Question

【題目】已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，.數(shù)列滿足.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）證明：是等比數(shù)列；

（3）是否存在首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，使得對(duì)任意，都有成立？若存在，求出q的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，.

【解析】

（1）設(shè)的公差為d，可得，， 由是等差數(shù)列，可得成等差數(shù)列，可得，求出的值，可得的通項(xiàng)公式；

（2）將展開，可得，將代入此式子相減，可得，再將代入此式子相減，可得，此時(shí)，驗(yàn)證時(shí)也滿足可得是等比數(shù)列；

（3）設(shè)存在對(duì)任意，都有恒成立，即，，易得，由由得，，可得設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)，可得其最小值，可得q的取值范圍.

解：（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)的公差為d，則

，，

因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，

即，，

解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是等差數(shù)列.

故.

（2）由，即， ①

所以， ②

②-①得，， ③

所以，， ④

④-③得，，即時(shí)，，

在①中分別令得，，也適合上式，

所以，，

因?yàn)?/span>是常數(shù)，所以是等比數(shù)列.

（3）設(shè)存在對(duì)任意，都有恒成立，

即，，

顯然，由可知，，

由得，，.

設(shè)，因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，，遞增；

當(dāng)時(shí)，，遞減.

因?yàn)?/span>，所以，

解得，

綜上可得，存在等比數(shù)列，使得對(duì)任意，都有恒成立， 其中公比的取值范圍是.