Question

10．設(shè)a，b，c∈（1，+∞），證明：2（$\frac{lo{g}_a}{a+b}$+$\frac{lo{g}_{c}b}{b+c}$+$\frac{lo{g}_{a}c}{c+a}$≥$\frac{9}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a，b，c∈（1，+∞），
∴l(xiāng)ga，lgb，lgc＞0．
∴（a+b+a+c+b+c）$（\frac{lga}{（a+b）lgb}+\frac{lgb}{（b+c）lgc}+\frac{lgc}{（c+a）lga}）$≥3$\root{3}{（a+b）（a+c）（b+c）}$•3$\root{3}{\frac{lga}{（a+b）lgb}•\frac{lgb}{（b+c）lgc}•\frac{lgc}{（c+a）lga}}$=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c＞1時(shí)取等號(hào)．
∴2（$\frac{lo{g}_a}{a+b}$+$\frac{lo{g}_{c}b}{b+c}$+$\frac{lo{g}_{a}c}{c+a}$≥$\frac{9}{a+b+c}$．

點(diǎn)評 本題查克拉基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．