Question

19．傾斜角$\frac{π}{4}$的直線l過拋物線y²=4x焦點，且與拋物線相交于A、B兩點．
（1）求直線l的方程．
（2）求線段AB長．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點坐標(biāo)F（1，0），用點斜式求出直線方程即可．
（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程聯(lián)解得一個關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長的公式，可以求出線段AB的長度．

解答 解：（1）根據(jù)拋物線y²=4x方程得：焦點坐標(biāo)F（1，0），
直線AB的斜率為k=tan45°=1，
由直線方程的點斜式方程，設(shè)AB：y=x-1，
（2）將直線方程代入到拋物線方程中，得：（x-1）²=4x，
整理得：x²-6x+1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，所以弦長|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-4}$=8．

點評 本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長問題，屬于中檔題．本題運用了直線方程與拋物線方程聯(lián)解的方法，對運算的要求較高．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式是解決本題的關(guān)鍵．