Question

3．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，則異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 由異面直線所成的角的定義，先作出這個異面直線所成的角的平面角，即連接B₁C，再證明∠AB₁C就是異面直線AB₁與 A₁D所成的角，最后在△AB₁C中計算此角的余弦值即可．

解答 解：如圖連接C₁D，則C₁D∥AB₁，
∴∠BC₁D就是異面直線AB₁與BC₁所成的角．AB=BC=2，AA₁=1，
在△BC₁D中，BD=$\sqrt{2}$，BC₁=DC₁=$\sqrt{5}$，
∴cosBC₁D=$\frac{5+5-（{2\sqrt{2}）}^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$．
∴異面直線AB₁與A₁D所成的角的余弦值為：$\frac{1}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查了異面直線所成的角的定義和求法，先作再證后計算，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角的思想．