Question

【題目】已知的三個頂點(diǎn)都在橢圓C：上，且過橢圓的左焦點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M在上，且.

（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）法一（代數(shù)法）設(shè)：，，聯(lián)立方程組，消去m得，即可推出結(jié)果.

法二（幾何法）由已知可得，，說明M的軌跡為以為直徑的圓（經(jīng)檢驗(yàn)，原點(diǎn)也符合題意）.求解即可.

（2）由（1）知，M的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)，則，求出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值與最小值即可.

（1）法一（代數(shù)法）

由已知可得，故當(dāng)直線斜率不為0時，可設(shè)：，

由消去m得（）

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線斜率為0，即m存在時，也符合上式，

故點(diǎn)M的軌跡方程為：.

法二（幾何法）

由已知可得，，

所以M的軌跡為以為直徑的圓（經(jīng)檢驗(yàn)，原點(diǎn)也符合題意），

∴M的軌跡方程為：.

（2）由（1）知，M的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)

則（），

可得，

當(dāng)時，

當(dāng)時，，

所以的取值范圍是.