Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知斜率存在又不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切，且與橢圓交于兩點(diǎn).探究：在橢圓上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意列方程組， 求解即可.

（2）假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)，使得.設(shè)直線，圓心到直線的距離等于半徑1，可知，整理的，直線與橢圓聯(lián)立得，，設(shè)，則，，根據(jù)，表示出點(diǎn)，代入橢圓得，求解即可.

（1）依題意，，故①.

將代入橢圓的方程中，可得②.

聯(lián)立①②，解得

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)，使得.

依題意，設(shè)直線，

因?yàn)橹本�與圓相切，

所以圓心到直線的距離等于半徑，即

整理得.

當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去；

當(dāng)且時(shí)，得，把代入橢圓

的方程得：.

易知，圓在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓相交，設(shè)，

則，，

，

.

因?yàn)?/span>，故，

即的坐標(biāo)為.

又因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，

得.

把代入得；

因?yàn)?/span>，所以，，

即或，

綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍為.