Question

15．已知函數(shù)f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx，則下列命題正確的是①③④⑤
（填上你認為正確的所有命題的序號）
①函數(shù)f（x）的最大值為2；
②函數(shù)f（x）的圖象關于點（-$\frac{π}{6}$，0）對稱；
③函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$）的圖象關于x軸對稱；
④若實數(shù)m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三個實數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=$\frac{7π}{3}$；
⑤設函數(shù)g（x）=f（x）+2x，若g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1）=-2π，則θ=-$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 先把函數(shù)f（x）利用兩角和的正弦公式化成標準形式，然后逐個判斷，對于③，方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三個實數(shù)解，在一個周期內有三個實數(shù)解，其中兩個解一定為區(qū)間的兩個端點；對于④，代入使表達式恒成立，求出θ的值．

解答 解：∵f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$）
∴函數(shù)f（x）的最大值為2，①正確；
當x=-$\frac{π}{6}$時，f（$\frac{π}{6}$）=2，②不正確；
函數(shù)f（x）的圖象關于x軸對稱的解析式為y=-2sin（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{3}$-π）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$），③正確；
若實數(shù)m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三個實數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x₁=0，x₂=$\frac{π}{3}$，x₃=2π，所以x₁+x₂+x₃=$\frac{7π}{3}$，④正確；
g（x）=f（x）+2x=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+2x，
g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1）
=2sin（θ-1+$\frac{π}{3}$）+2（θ-1）+2sin（θ+$\frac{π}{3}$）+2θ+2sin（θ+1+$\frac{π}{3}$）+2（θ+1）
=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）（1+2cos1）+6θ=-2π
所以sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，6θ=-2π，所以$θ=-\frac{π}{3}$．⑤正確．
故答案為：①③④⑤．

點評 本題考查了三角函數(shù)式的化簡，三角函數(shù)的最值、對稱性及三角方程，綜合性強，解決這類問題的關鍵是把三角函數(shù)式化成標準形式．