Question

13．已知△ABC中，AB=AC，以點(diǎn)B為圓心，以BC為半徑的圓分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，且EF為該圓的直徑．
（1）求證：∠A=2∠F；
（2）若AE=$\frac{1}{2}$EC=1，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形以及圓周角與圓心角的關(guān)系，推出∠A=∠EBC=2∠F．
（2）通過△ABC∽△BEC，直接求解即可．

解答 解：（1）因?yàn)锳C=AB，所以∠ABC=∠ACB，
又因?yàn)锽C=BE，所以∠BEC=∠ECB，所以∠BEC=∠ABC，
所以∠A=∠EBC=2∠F．（5分）
（2）由（1）可知△ABC∽△BEC，
從而$\frac{EC}{BC}=\frac{BC}{AC}$，由AE=1，EC=2，AC=3，
得$BC=\sqrt{6}$．（10分）

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，三角形相似的證明，考查計(jì)算能力．