Question

3．已知sin（5π-θ）+sin（$\frac{5π}{2}$-θ）=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．求：
（1）sin³（$\frac{π}{2}$+θ）-cos³（$\frac{3π}{2}$-θ）；
（2）sin⁴（$\frac{π}{2}$-θ）+cos⁴（$\frac{7π}{2}$+θ）．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式先化簡(jiǎn)條件，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵sin（5π-θ）+sin（$\frac{5π}{2}$-θ）=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．則sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=$\frac{7}{4}$，
即2sinθcosθ=$\frac{3}{4}$，則sinθcosθ=$\frac{3}{8}$，
（1）sin³（$\frac{π}{2}$+θ）-cos³（$\frac{3π}{2}$-θ）=cos³θ+sin³θ=（sinθ+cosθ）（sin²θ-sinθcosθ+cos²θ）=$\frac{\sqrt{7}}{2}$×（1-$\frac{3}{8}$）=$\frac{\sqrt{7}}{2}$×$\frac{5}{8}$=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$；
（2）sin⁴（$\frac{π}{2}$-θ）+cos⁴（$\frac{7π}{2}$+θ）=cos⁴θ+sin⁴θ=（sin²θ+cos²θ）²-2sin²θcos²θ=1-2（sinθcosθ）²=1-2×$\frac{9}{64}$=$\frac{23}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)和求解，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．