Question

11．如圖所示，在四較錐E-ABCD中，底面ABCD為矩形，CD⊥平面BEC，G是線段BE上一點(diǎn)，F(xiàn)是線段DC的中點(diǎn)且GF∥平面ADE，AB=BE=EC=2．
（1）求證：GB=GE；
（2）若BE⊥CE，求直線DG與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中點(diǎn)H，BC中點(diǎn)O，連接OE，OH，根據(jù)條件可分別以O(shè)E，OC，OH三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)OC=a，這樣可表示出圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得$\overrightarrow{AD}=（0，2a，0），\overrightarrow{AE}=（\sqrt{4-{a}^{2}}，a，-2）$．可設(shè)平面ADE的法向量為$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{n}$，可設(shè)G（x，y，0），根據(jù)條件知道$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{GF}$，從而得到$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GF}=0$，能求出G點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)即可說明G為BE的中點(diǎn)，從而得出GB=GE；
（2）由BE⊥CE便可求出a=$\sqrt{2}$，帶入（1）中得到的各點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定這些點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)平面AEF的法向量$\overrightarrow{m}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，根據(jù)上面求法向量的過程求出$\overrightarrow{m}$，然后可設(shè)直線DG和平面AEF所成角為θ，則根據(jù)sinθ=$|cos＜\overrightarrow{DG}，\overrightarrow{m}＞|$即可求出直線DG與平面AEF所成角的正弦值．

解答 解：（1）證明：根據(jù)已知，取BC邊的中點(diǎn)O，AD的中點(diǎn)H，連接OE，OH，則OE，OC，OH三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)OC=a，則：
A（0，-a，2），B（0，-a，0），C（0，a，0），D（0，a，2），E（$\sqrt{4-{a}^{2}}$，0，0），F(xiàn)（0，a，1）；
設(shè)G（x，y，0），∴$\overrightarrow{GF}=（-x，a-y，1）$，$\overrightarrow{AD}=（0，2a，0）$，$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{4-{a}^{2}}，a，-2）$；
設(shè)平面ADE的法向量為$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，則$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AD}$，且$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AE}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2a{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{4-{a}^{2}}{x}_{1}+a{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取x₁=1，則$\overrightarrow{n}=（1，0，\frac{\sqrt{4-{a}^{2}}}{2}）$；
∵GF∥平面ADE；
∴$\overrightarrow{GF}⊥\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{n}=-x+\frac{\sqrt{4-{a}^{2}}}{2}=0$；
∴$x=\frac{\sqrt{4-{a}^{2}}}{2}$；
∴$G（\frac{\sqrt{4-{a}^{2}}}{2}，y）$；
∴G為BE中點(diǎn)；
∴GB=GE；
（2）若BE⊥CE，則BC=2$\sqrt{2}$，∴$a=\sqrt{2}$；
∴可確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：
$A（0，-\sqrt{2}，2）$，$E（\sqrt{2}，0，0）$，$F（0，\sqrt{2}，1）$，$D（0，\sqrt{2}，2）$，B（$0，-\sqrt{2}，0$），G（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}，0$）；
∴$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，-2）$，$\overrightarrow{AF}=（0，2\sqrt{2}，-1）$，$\overrightarrow{DG}=（\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{3\sqrt{2}}{2}，-2）$；
設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{2}{x}_{2}+\sqrt{2}{y}_{2}-2{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=2\sqrt{2}{y}_{2}-{z}_{2}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3{y}_{2}}\\{{z}_{2}=2\sqrt{2}{y}_{2}}\end{array}\right.$，取y₂=1，則$\overrightarrow{m}=（3，1，2\sqrt{2}）$；
設(shè)直線DG和平面AEF所成角為θ，則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{DG}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DG}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{DG}|}=\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}•3}=\frac{4}{9}$；
即直線DG和平面AEF所成角的正弦值為$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面平行及線面角等立體幾何問題的方法，線面垂直的判定定理及性質(zhì)，平面法向量的概念及求法，線面平行時(shí)，直線和平面的法向量垂直，向量垂直的充要條件，以及線面角的定義及求法，弄清線面角和直線的方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系．