Question

7．若實數(shù)x，y滿足$\sqrt{{x}^{2}+（y+3）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=10，則t=$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{5}$的最小值為-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得點P（x，y）與兩定點A（0，-3），B（0，3）的距離之和為10．由橢圓的定義可得P的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，即a=5，c=3，b=4，求得橢圓的方程，再由參數(shù)方程代入t的表達式，運用輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到最小值．

解答 解：實數(shù)x，y滿足$\sqrt{{x}^{2}+（y+3）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=10，
表示點P（x，y）與兩定點A（0，-3），B（0，3）的距離之和為10．
由橢圓的定義可得P的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，且2a=10，2c=6，
即a=5，c=3，b=4，
可得方程即為$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．
可設(shè)x=4cosα，y=5sinα（0≤α＜2π），
則t=$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{5}$=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
當α+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，即α=$\frac{5π}{4}$時，t取得最小值，且為-$\sqrt{2}$．
故答案為：-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的定義、方程及運用，注意運用橢圓的參數(shù)方程，考查輔助角公式的運用，以及正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．