Question

20．$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$=1（a，b∈{1，2，3，4，…，100}）的曲線中，所有圓面積的和等于5050π，離心率最小的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{99}=1$或$\frac{{x}^{2}}{99}+\frac{{y}^{2}}{100}=1$．

Answer 1

分析 由a=b可知圓的半徑情況，代入圓的面積公式后由等差數列的前n項和得答案；再由$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$可得，要使橢圓離心率最小，則$\frac{a}$最大．
∴當a=100，b=99或a=99，b=100時橢圓離心率最�。�由此求出橢圓的方程．

解答 解：由題意，所有圓的半徑分別為：$\sqrt{1}、\sqrt{2}、\sqrt{3}、…、\sqrt{100}$，
則圓的面積分別為：π、2π、3π、…、100π，
則所有圓面積的和等于π（1+2+3+…+100）=5050π；
由$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，
∴要使橢圓離心率最小，則$\frac{a}$最大．
∴當a=100，b=99或a=99，b=100時橢圓離心率最小．
∴離心率最小的橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{99}=1$或$\frac{{x}^{2}}{99}+\frac{{y}^{2}}{100}=1$．
故答案為：5050π；$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{99}=1$或$\frac{{x}^{2}}{99}+\frac{{y}^{2}}{100}=1$．

點評 本題考查圓的方程及面積，考查了橢圓的簡單性質，訓練了等差數列前n項和公式的應用，是中檔題．