Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）若，證明：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（3）若函數(shù)的圖像過原點，且的導(dǎo)數(shù)，當時，函數(shù)過點的切線至少有2條，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當時,最大值為；當時,最大值為（3）

【解析】

（1）由題,利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間即可；

（2）利用導(dǎo)數(shù)可以推導(dǎo)得到在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),則當時,的最大值為和中的最大值,作差可得,設(shè),再次利用導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)的單調(diào)性,進而得到上的最大值；

（3）由題可得,設(shè)切點為,則處的切線方程為：,將代入可得,則將原命題等價為關(guān)于的方程至少有2個不同的解,設(shè),進而利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性,從而求解即可

（1）證明：,則,

當時,,

,即此時函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).

（2）由（1）知,當時,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),

當時,,則,,則在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)；

同理,當時,在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)；

即當,且時,在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),

則當時,的最大值為和中的最大值，

,

令,

則,

在上為增函數(shù),

,

當時,,即,此時最大值為；

當時,,即,此時最大值為.

（3）,

,

的圖像過原點,

,即,則,

設(shè)切點為,則處的切線方程為：,

將代入得,

即（※）,

則原命題等價為關(guān)于的方程（※）至少有2個不同的解,

設(shè),

則,

令,,

,

當和時,,此時函數(shù)為增函數(shù)；

當時,,此時函數(shù)減函數(shù),

的極大值為,

的極小值為,

設(shè),則,則原命題等價為,即對恒成立,

由得,

設(shè),則,

令,則,,當時,；當時,,

即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

的最大值為,,

故,

綜上所述,當時,函數(shù)過點的切線至少有2條,此時實數(shù)m的值為