Question

15．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}（k＞0）$表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求炮的射程；
（2）求炮的最大射程；
（3）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大�。�，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以其中它？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過k=2，化簡函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)求解射程．
（2）求炮彈擊中目標(biāo)時(shí)的橫坐標(biāo)的最大值，由一元二次方程根的判別式求解．
（3）炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在 k＞0，使ka-$\frac{1}{20}$（1+k²）a²≥3.2成立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根．利用判別式，求解即可．

解答 解：（1）∵k=2，$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k}^{2}）{x}^{2}（k＞0）$，可得：$y=2x-\frac{1}{4}{x}^{2}$，y=0，可得x=0，x=8．
炮的射程為：8千米．
（2）在 y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得 kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²=0．                  
由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x＞0，k＞0．
∴x=$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{20}{\frac{1}{k}+k}$≤$\frac{20}{2}$=10，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)．
∴炮的最大射程是10千米．
（3）∵a＞0，∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在 k＞0，使ka-$\frac{1}{20}$（1+k²）a²≥3.2成立，
即關(guān)于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根．
由韋達(dá)定理滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，
故只需△=400a²-4a²（a²+64）≥0，得a≤6．
此時(shí)，k=$\frac{20a±\sqrt{△}}{2{a}^{2}}$＞0．
∴當(dāng)a不超過6時(shí)，炮彈可以擊中目標(biāo)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是求函數(shù)的最值問題以及圖象和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，函數(shù)模型的運(yùn)用，基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．