Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，BD＝CD，E，F分別為BC，PD的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PAB；

（2）求證：平面PBC⊥平面EFD．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）取PA中點(diǎn)G,連接BG,FG,由中位線的性質(zhì)可得FG∥AD,FG,且BE∥AD,BFAD,則四邊形BEFG為平行四邊形,進(jìn)而求證即可；

（2）由PD⊥平面ABCD可得PD⊥BC,在由等腰三角形的性質(zhì)可得DE⊥BC,進(jìn)而求證即可.

證明：（1）如圖,取PA中點(diǎn)G,連接BG,FG,

∵F為PD的中點(diǎn),∴FG∥AD,且FG,

∵E為BC的中點(diǎn),∴BE∥AD,且BFAD,

∴FG∥BE,FG＝BE,則四邊形BEFG為平行四邊形,

∴EF∥BG,

又BG平面PAB,EF平面PAB,

∴EF∥平面PAB

（2）∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC,

∵BD＝CD,E為BC的中點(diǎn),∴DE⊥BC,

又PDDE＝D,平面PDE,

∴BC⊥平面PDE,

又BC平面PBC,

∴平面PBC⊥平面EFD.