Question

【題目】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸的正半軸上,點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，以為圓心,2為半徑的圓與軸相切,切點(diǎn)為.

(I)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(Ⅱ)設(shè)直線在軸上的截距為6,且與拋物線交于,兩點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn),當(dāng)直線恰與拋物線相切時(shí),求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

(Ⅱ) 直線的方程為或.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，由以為圓心，2為半徑的圓與軸相切，切點(diǎn)為，可得，故所求方程為．（Ⅱ）由題意設(shè)出直線的方程為，并設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，令，可得．根據(jù)三點(diǎn)共線得，整理得

，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可解得，于是可得直線的方程．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為，

∵以為圓心，2為半徑的圓與軸相切，切點(diǎn)為，

∴，

∴該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）由題知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

由消取整理得，

顯然，．

設(shè)，則.

拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，

令，得，可得點(diǎn)，

由三點(diǎn)共線得，

∴，即，

整理得,

∴

解得，即，

∴所求直線的方程為或.