Question

【題目】（1）用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？

（2）用一段長為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，最短籬笆的長度為；（2）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，最大面積是.

【解析】

設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.

（1）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形周長的最小值，由等號(hào)成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結(jié)論；

（2）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形面積的最大值，由等號(hào)成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結(jié)論.

設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.

（1）由已知得，由，可得，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.

因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為；

（2）由已知得，則，矩形菜園的面積為.

由，可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.

因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是.