Question

已知橢圓C：

x2

5

+

y2

4

=1和⊙O：x²+y²=9，過⊙O上一動點P（m，n）引橢圓C的兩條不平行于坐標(biāo)軸的切線PS、PT交⊙O分別為S、T兩點，則∠SPT=

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)過點P（m，n）切線為y-n=k（x-m），與橢圓的方程聯(lián)立可得（4+5k²）x²+10k（n-km）x+5（n-km）²-20=0，利用△=0，可得（5-m²）k²+2mnk+4-n²=0，可得k₁k₂=

4-n2

5-m2

．由于1+k₁k₂=0．即可得出．

解答： 解：設(shè)過點P（m，n）切線為y-n=k（x-m），n²+m²=9．
聯(lián)立

y=kx+n-km x2 5 + y2 4 =1

，化為（4+5k²）x²+10k（n-km）x+5（n-km）²-20=0，
∴△=100k²（n-km）²-20（4+5k²）[（n-km）²-4]=0，
化為（5-m²）k²+2mnk+4-n²=0，
∴k₁k₂=

4-n2

5-m2

．
∴1+k₁k₂=1+

4-n2

5-m2

=

9-m2-n2

5-m2

=0．
∴k₁k₂=-1．
∴∠SPT=90°．
故答案為：90°．

點評：本題考查了橢圓的切線性質(zhì)、直線與橢圓相切轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△=0及其根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．