Question

【題目】已知，函數(shù)有兩個不同的零點．

（I）證明：；

（Ⅱ）證明：．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（I）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性以及最值，根據(jù)直線與有兩個交點，即可求得參數(shù)的范圍；

（Ⅱ）先證明，再證明成立即可.

證明：（I）由，則．

當時，，此時單調(diào)遞增；

當時，，此時單調(diào)遞減．

因為有兩個不同的零點，故，即.

若，則當時，，此時在上無零點，

在上至多一個零點，與題設(shè)矛盾，故.

（Ⅱ）（1）一方面，先證明成立：

設(shè)，由（I）可知．

構(gòu)造函數(shù)，

所以．

所以當時，，遞增，

所以，即．

因為，所以，

即．

又因為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，即．

（2）另一方面，要證明成立，

只需證明成立，

由知，

故只需證明，即成立

等價于，

因為，所以只需證明，

即成立.

設(shè)函數(shù)，則，

當時，單調(diào)遞減，

于是，故成立

綜上所述：．