Question

【題目】已知橢圓、拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

	3	2	4
		0	4

（Ⅰ）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）請(qǐng)問(wèn)是否存在直線(xiàn)滿(mǎn)足條件：①過(guò)的焦點(diǎn)；②與交不同兩點(diǎn)且滿(mǎn)足？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），：；（Ⅱ） 或

【解析】

（Ⅰ）設(shè)拋物線(xiàn)，則有，據(jù)此驗(yàn)證個(gè)點(diǎn)知（3，）、（4，4）在拋物線(xiàn)上，易求

設(shè)：，把點(diǎn)（2，0）（，）代入得：

解得

∴方程為

（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的方程為兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，

由消去，得

∴①

②

由，即，得

將①②代入（*）式，得，解得

所以假設(shè)成立，即存在直線(xiàn)滿(mǎn)足條件，且的方程為：或

法二：容易驗(yàn)證直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足題意；

當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，假設(shè)存在直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，設(shè)其方程為，與的交點(diǎn)坐標(biāo)為

由消掉，得，

于是，①

即②

由，即，得

將①、②代入（*）式，得，解得；

所以存在直線(xiàn)滿(mǎn)足條件，且的方程為：或．