Question

【題目】已知橢圓的離心率，一個(gè)長軸頂點(diǎn)在直線上，若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為.

（1）求該橢圓的方程.

（2）若，試問的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為定值1.

【解析】

（1）根據(jù)離心率及長軸即可寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，求，點(diǎn)到直線的距離，寫出三角形面積，化簡即可求證.

由，又由于，一個(gè)長軸頂點(diǎn)在直線上，

可得：，，.

（1）故此橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

聯(lián)立橢圓的方程得：，

由，可得，

則，，

，

又點(diǎn)到直線的距離，

，

由于，

可得：，

故，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可算得：，

故的面積為定值1.