Question

5．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+mx，x＜0}\end{array}\right.$是奇函數，
（1）求實數m的值；
（2）畫出函數y=f（x）的圖象（不用列表），并根據圖象寫出該函數的單調區(qū)間；
（3）若函數y=f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數的解析式，先求出f（1），再由f（-1）=-f（1）得到f（-1）以及m的值；
（2）由已知中函數的解析式，結合二次函數的圖象和性質，可得y=f（x）的圖象，數形結合可寫出單調區(qū)間；
（3）要使f（x）在[-1，a-2]上單調遞增，結合f（x）的圖象知$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞-1}\\{a-2≤1}\end{array}\right.$，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）設x＜0，則-x＞0，
所以，f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．
又f（x）為奇函數，所以f（-x）=-f（x），
于是x＜0時，f（x）=x²+2x=x²+mx，所以m=2，
（2）如圖所示，由圖可得：
f（x）的單調遞增區(qū)間（-1，1），
f（x）的單調遞減區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞）；
（3）要使f（x）在[-1，a-2]上單調遞增，
結合f（x）的圖象知$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞-1}\\{a-2≤1}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤3，故實數a的取值范圍是（1，3]．

點評 本題主要考查利用函數的奇偶性求函數的解析式，作函數的圖象，函數的單調性的應用，屬于中檔題．