Question

【題目】已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于、兩點(diǎn)，則（ ）

A.的最小值為

B.使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線

C.函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)

D.使得曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可判斷出A選項(xiàng)的正誤；解方程，可判斷出B選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的符號(hào)可判斷出C選項(xiàng)的正誤；設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)，求出兩切線的方程，得出方程組，判斷方程組是否有公共解，即可判斷出D選項(xiàng)的正誤.進(jìn)而得出結(jié)論.

令，得，令，得，

則點(diǎn)、，如下圖所示：

由圖象可知，，其中，

令，則，則函數(shù)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，，A選項(xiàng)正確；

，，則，，

曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，

曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，

令，即，即，

則滿足方程，所以，使得曲線在處的切線平行于曲線在處的切線，B選項(xiàng)正確；

構(gòu)造函數(shù)，可得，

函數(shù)在上為增函數(shù)，由于，，

則存在，使得，可得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

，

所以，函數(shù)沒有零點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，

則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，

同理可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

所以，，消去得，

令，則，

函數(shù)在上為減函數(shù)，，，

則存在，使得，且.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，，，

由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)在上有零點(diǎn)，

即方程有解.

所以，使得曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.

故選：ABD.