Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x2+1

（a＞0）
（1）若函數(shù)f（x）的極大值為2，極小值為-2，試求a，b的值；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)g（x）=k（x-

1

3

），試討論函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)f′（x），設(shè)x₁，x₂是-ax²-2bx+a=0的兩根，且x₁＜x₂，運用韋達定理，及f（x₁）=-2，f（x₂）=2．化簡即可求出a，b；
（2）討論k=0，k＜0，k＞0，設(shè)直線與曲線相切的切點為（s，t），由相切的條件，列出方程，解出k=

48

25

，再分①0＜k＜

48

25

，②k=

48

25

，③k＞

48

25

討論圖象的交點個數(shù)，即有零點個數(shù)．

解答： 解：（1）f′（x）=

a(x2+1)-2x(ax+b)

(x2+1)2

=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，（a＞0）
設(shè)x₁，x₂是-ax²-2bx+a=0的兩根，且x₁＜x₂，
則x₁+x₂=-

2b

a

，x₁x₂=-1，
由于f（x₁）=-2，f（x₂）=2．即

ax1+b

x12+1

=-2，

ax2+b

x22+1

=2可化為

bx12-ax1

x12+1

=2，
則ax₁+b=ax₁-bx₁²，得b=0，x₁+x₂=0，x₁=-1，x₂=1．則a=4，
故a=4，b=0；
（2）f（x）=

4x

1+x2

，令F（x）=f（x）-g（x）=0，即有

4x

1+x2

=k（x-

1

3

），
當(dāng)k=0，x=0，有一個零點；當(dāng)k≠0時，

4x

k

=（1+x²）（x-

1

3

）．
當(dāng)k＜0，y=

4

k

x和y=（1+x²）（x-

1

3

）的圖象只有一個交點，即有一個零點；
當(dāng)k＞0時，設(shè)直線與曲線相切的切點為（s，t），
則3s²-

2

3

s+1=

4

k

，t=

4

k

s，t=（1+s²）（s-

1

3

）
化簡得，6s³-s²+1=0，得到s=-

1

2

，k=

48

25

，
①當(dāng)0＜k＜

48

25

時，圖象有3個交點，函數(shù)有3個零點；
②當(dāng)k=

48

25

時，圖象有2個交點，函數(shù)有2個零點；
③當(dāng)k＞

48

25

時，圖象有1個交點，函數(shù)有1個零點；
綜上，當(dāng)k≤0或k＞

48

25

時，有1個零點；
當(dāng)k=

48

25

時，函數(shù)有2個零點；
當(dāng)0＜k＜

48

25

時，函數(shù)有3個零點．

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合運用：求切線和求極值，考查分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，運算求解的能力，屬于中檔題．