Question

11．對(duì)于橢圓x²-my²=1（|m|＜1），給出下列命題：
①焦點(diǎn)在x軸上；
②長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)是$\frac{1}{\sqrt{m}}$；
③短半軸的長(zhǎng)是1；
④焦點(diǎn)到中心的距離$\sqrt{-\frac{1+m}{m}}$；
⑤離心率e=$\sqrt{1+m}$．
其中正確命題的序號(hào)是③④⑤．

Answer 1

分析 對(duì)于橢圓x²-my²=1（|m|＜1），化為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{-m}}$=1，因此-1＜m＜0，$\frac{1}{-m}$＞1．于是：a=$\sqrt{\frac{1}{-m}}$，b=1，c=$\sqrt{-\frac{1+m}{m}}$，即可得出．

解答 解：對(duì)于橢圓x²-my²=1（|m|＜1），化為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{-m}}$=1，因此-1＜m＜0，$\frac{1}{-m}$＞1．
∴橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)=$\sqrt{\frac{1}{-m}}$，短半軸的長(zhǎng)是1，焦點(diǎn)到中心的距離c=$\sqrt{\frac{1}{-m}-1}$=$\sqrt{-\frac{1+m}{m}}$，離心率e=$\frac{\sqrt{-\frac{1+m}{m}}}{\sqrt{\frac{1}{-m}}}$=$\sqrt{1+m}$．
綜上可得：正確的是③④⑤．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．