Question

5．已知球O與三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各個面都相切，且AA₁⊥平面ABC，若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積是27，三角形ABC的周長為6$\sqrt{3}$，則球O的體積為$\frac{4}{3}$π（$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$）³．

Answer 1

分析 利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積是27，求出球的半徑，再求球O的體積．

解答 解：∵三角形ABC的周長為6$\sqrt{3}$，
∴三角形ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，
設(shè)球O的半徑為r，則
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積是27，
∴2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2$\sqrt{3}$）²+3×2$\sqrt{3}$×2r=27，
∴r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$，
∴球O的體積為$\frac{4}{3}$π（$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$）³．
故答案為：$\frac{4}{3}$π（$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$）³．

點評 本題考查求球O的體積，考查學(xué)生的計算能力，確定球的半徑是關(guān)鍵．