Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣ 處取得極值．
（1）確定a的值；
（2）討論函數(shù)g（x）=f（x）ex的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：對f（x）求導(dǎo)得f′（x）=3ax2+2x．

∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣ 處取得極值，

∴f′（﹣ ）=0，

∴3a +2（﹣ ）=0，

∴a= ；

（2）解：由（1）得g（x）=（ x3+x2）ex，

∴g′（x）=（ x2+2x）ex+（ x3+x2）ex= x（x+1）（x+4）ex，

令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，

當(dāng)x＜﹣4時，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；

當(dāng)﹣4＜x＜﹣1時，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)；

當(dāng)﹣1＜x＜0時，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；

當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)；

綜上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）內(nèi)為減函數(shù)，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）為增函數(shù)

【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣ 處取得極值，可得f′（﹣ ）=0，即可確定a的值；（2）由（1）得g（x）=（ x3+x2）ex ， 利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得g（x）的單調(diào)性．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．