Question

已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，其中，

（I）求與的關(guān)系式；

（II）求的單調(diào)區(qū)間；

（III）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于，求的取值范圍.

Answer 1

（I）解

因?yàn)?sub>是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),所以，

所以

（II）由（I）知，.

當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表：

				1
	<0	0	>0	0	<0
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

由上表知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（III）解法一：

由已知，得，即

∵，

∴

即      （*）

設(shè)，其函數(shù)圖象的開口向上，

由題意（*）式恒成立，∴

                  

                   ∴.

即的取值范圍為

解法二：由已知，得，即，

∵，

∴      （*）

     1*    x=1時(shí)，（*）式化為0<1恒成立，∴。

     2*    x≠1時(shí)，∵∴

                    （*）式化為

   令t= x－1，則t∈[－2,0)，記

    則g(t)在區(qū)間[－2,0)是單調(diào)增函數(shù)。

∴

由（*）式恒成立，必有，

∴

綜上1*、2*知