Question

12．直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB中點(diǎn)為（-1，$\frac{1}{2}$），則直線l的方程為x-2y+2=0．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+${y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}=1$，兩式相減，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+${y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}=1$，
兩式相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵弦AB中點(diǎn)為（-1，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{-2}{4}+{k}_{AB}$=0，
∴k_AB=$\frac{1}{2}$．
∴直線l的方程為y-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1），解得x-2y+2=0．
故答案為：x-2y+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．