Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，且．

（1）求證：平面⊥平面；

（2）設(shè)是的中點(diǎn)，判斷并證明在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使‖平面；若存在，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：本題以直三棱柱為幾何背景，考查線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直、面面平行、線(xiàn)面平行、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，要證平面⊥平面，需要證平面；第二問(wèn)，作出輔助線(xiàn)，通過(guò)3邊都平行，利用面面平行的判定得到面EFD//平面，再利用面面平行的性質(zhì)得DE//平面，由于平面，所以是三棱錐的高，所以將轉(zhuǎn)化為，再求解.

試題解析：（1）∵直三棱柱側(cè)面為矩形，且，

∴四邊形為正方形，

∴，

∵，平面，平面，

∴平面

∵平面

∴平面⊥平面； .5分

（2）分別取，的中點(diǎn)，，連接，，

平面∥平面，‖平面， .8分

平面， .10分

.12分