Question

【題目】已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）證明：當(dāng)時(shí)， ；

（2）設(shè)為整數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1

【解析】試題分析：（1）要證明不等式成立，構(gòu)造設(shè)，求導(dǎo)，利用單調(diào)性即可證明，從而證明整個(gè)不等式組（2）結(jié)合（1）問(wèn)結(jié)論得當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，然后求得，從而得到兩個(gè)零點(diǎn)

解析：（1）證明：設(shè)，則，令，得

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴ 對(duì)任意，

∴當(dāng)時(shí)， ，∴當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)，

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知， ，故無(wú)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)， ，

∵， ，且為上的增函數(shù)

∴有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增

∴的最小值為

由為的零點(diǎn)知， ，于是

∴的最小值，由知， ，即

又，

∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)

∴有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上所述， 的最小值為1.