Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線(xiàn)的距離小1.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線(xiàn)，分別交曲線(xiàn)于點(diǎn)和.設(shè)線(xiàn)段， 的中點(diǎn)分別為，求證：直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）過(guò)定點(diǎn)，（3）4

【解析】試題分析：（Ⅰ）先借助拋物線(xiàn)定義確定曲線(xiàn)的形狀是拋物線(xiàn)，再確定參數(shù)，進(jìn)而求出；（Ⅱ）先依據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論分別建立的方程，再分別與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程組，求出弦中點(diǎn)為的坐標(biāo)，最后借助斜率的變化確定直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；（Ⅲ）在（Ⅱ）前提條件下，先求出，然后建立面積關(guān)于變量的函數(shù)，再運(yùn)用基本不等式求其最小值：

解：（Ⅰ）由題意可知：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線(xiàn)的距離.根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn).

∵，∴拋物線(xiàn)方程為：

（Ⅱ）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為.

由，得.

.

因?yàn)橹本�(xiàn)與曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，所以.

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由題知，直線(xiàn)的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)直線(xiàn)的斜率.

所以，直線(xiàn)的方程為，整理得.

于是，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，也過(guò)點(diǎn).

綜上所述，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

（Ⅲ）可求得.所以面積.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“ ”成立，所以面積的最小值為4.