Question

如圖所示,已知圓外有一點,作圓的切線,為切點,過的中點,作割線,交圓于、兩點,連接并延長,交圓于點,連接交圓于點,若.

（1）求證:△∽△;

（2）求證:四邊形是平行四邊形.

Answer 1

【解析】（1）見解析；（2）見解析

解析：(1)∵是圓的切線, 是圓的割線, 是的中點,

∴, ∴,

又∵, ∴△∽△,

∴, 即.

∵, ∴, ∴,

∴△∽△.                                 ………5分

 (2)∵,∴,即,

∴,  ∵△∽△,∴,

∵是圓的切線,∴,

∴,即,

∴, ∴四邊形PMCD是平行四邊形.             ………10分

【思路點撥】（I）由切割線定理，及N是PM的中點，可得，進而，結(jié)合，可得△∽△，則，即；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的補角相等可得∠MAP=∠PAB，進而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圓O的切線，可證得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四邊形的判定定理得到四邊形PMCD是平行四邊形．