Question

【題目】如圖，已知曲線，曲線， 是平面上一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)的直線與都有公共點(diǎn)，則稱為“型點(diǎn)”.

（1）證明： 的左焦點(diǎn)是“型點(diǎn)”；

（2）設(shè)直線與有公共點(diǎn)，求證： ，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“型點(diǎn)”；

（3）求證： 內(nèi)的點(diǎn)都不是“型點(diǎn)”.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意的左焦點(diǎn)為，過的直線與、交于，即可判定，得出直線方程；

（2）聯(lián)立方程組和，根據(jù)方程有解，即可求解的范圍，從而判斷原點(diǎn)不是“型點(diǎn)”；

（3）以為邊界的正方形區(qū)域記為，分點(diǎn)在的邊界上，和是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，兩種情況分類討論，進(jìn)而說明，聯(lián)立方程組，得出，得出直線與曲線沒有公共點(diǎn)，從而證得結(jié)論.

試題解析：

（1）的左焦點(diǎn)為，

過的直線與交于，與交于，故的左焦點(diǎn)為“型點(diǎn)”，且直線可以為；

（2）直線與有交點(diǎn)，則，

若方程組有解，則必須；

直線與有交點(diǎn)，則，

若方程組有解，則必須

故直線至多與曲線和中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“型點(diǎn)”

（3）以為邊界的正方形區(qū)域記為.

1）若點(diǎn)在的邊界上，則該邊所在直線與相切，與有公共部分，即邊界上的點(diǎn)都是“型點(diǎn)”；

2）設(shè)是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，即，

假設(shè)是“型點(diǎn)”，則存在過點(diǎn)的直線與都有公共點(diǎn).

ⅰ)若直線與有公共點(diǎn)，直線的方程化為，假設(shè)，則，

可知直線在之間，與無公共點(diǎn)，這與“直線與有公共點(diǎn)”矛盾，所以得到：與有公共點(diǎn)的直線的斜率滿足.

ⅱ)假設(shè)與也有公共點(diǎn)，則方程組有實數(shù)解.

從方程組得，

，由，

因為

所以， ，即直線與沒有公共點(diǎn)，與“直線與有公共點(diǎn)”矛盾，于是可知不是“型點(diǎn)”.

證明完畢

另解：

令，因為，所以|，即.于是可知的圖像是開口向下的拋物線，且對稱軸方程為是，因為，

所以在區(qū)間上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).

因為， ，所以對任意，都有，即直線與沒有公共點(diǎn)，與“直線與有公共點(diǎn)”矛盾，于是可知不是“型點(diǎn)”.

證明完畢.