Question

10．若不等式2y²-x²≥c（x²-xy）對任意滿足x＞y＞0的實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為$2\sqrt{2}-4$．

Answer 1

分析 不等式x²-2y²≤cx（y-x）對任意滿足x＞y＞0的實(shí)數(shù)x、y恒成立，變形為c≤$\frac{2{y}^{2}-{x}^{2}}{{x}^{2}-xy}$=$\frac{2-（\frac{x}{y}）^{2}}{（\frac{x}{y}）^{2}-\frac{x}{y}}$，令$\frac{x}{y}$=t可得c≤$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}-t}$=f（t），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（t）的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：∵不等式2y²-x²≥c（x²-xy）對任意滿足x＞y＞0的實(shí)數(shù)x、y恒成立，
∴c≤$\frac{2{y}^{2}-{x}^{2}}{{x}^{2}-xy}$=$\frac{2-（\frac{x}{y}）^{2}}{（\frac{x}{y}）^{2}-\frac{x}{y}}$，
令$\frac{x}{y}$=t＞1，
∴c≤$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}-t}$=f（t），
令f（t）=$\frac{2-{t}^{2}}{{t}^{2}-t}$，
則f′（t）=$\frac{{t}^{2}-4t+2}{（{t}^{2}-t）^{2}}$=$\frac{（t-2-\sqrt{2}）（t-2+\sqrt{2}）}{（{t}^{2}-t）^{2}}$，
當(dāng)t＞2+$\sqrt{2}$時，f′（t）＞0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜t＜2+$\sqrt{2}$時，f′（t）＜0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減；
∴當(dāng)t=2+$\sqrt{2}$時，f（t）取得最小值，f（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-4．
∴實(shí)數(shù)c的最大值為2$\sqrt{2}$-4．
故答案為：2$\sqrt{2}$-4．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．