Question

【題目】已知橢圓的離心率，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為3

（1）求橢圓的方程；

（2）已知P為直角坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，動直線l：與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)直線PA與直線PB的斜率均存在時，若直線PA與PB的斜率之和為與t無關(guān)的常數(shù)，求出所有滿足條件的定點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) .(2) 或.

【解析】

（1）由題意求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）設(shè)，，，將代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及斜率公式化簡可得，與t無關(guān)，由此能求出存在滿足條件的m，n的值．

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則，且.

由，解得.

依題意，，求得c=1，，，于是橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，，將：代入橢圓方程得.

，，

則有，.

直線，的斜率之和

，

當(dāng)，時斜率的和恒為0，

解得或.

綜上所述，所有滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)為或.