Question

4．在極坐標(biāo)系中，已知射線C₁：$θ=\frac{π}{3}$，動(dòng)圓C₂：${ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0$（x₀∈R）．
（1）求C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若射線C₁與動(dòng)圓C₂相交于M與N兩點(diǎn)，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）射線C₁：$θ=\frac{π}{3}$，可得直角坐標(biāo)方程：$y=xtan\frac{π}{3}$，（x≥0），化簡(jiǎn)即可得出．動(dòng)圓C₂：${ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0$（x₀∈R），利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）當(dāng)動(dòng)圓C₂與射線C₁相切時(shí)，$\frac{r}{{x}_{0}}$=$sin\frac{π}{3}$，可得x₀．當(dāng)圓經(jīng)過原點(diǎn)且原點(diǎn)為一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x₀=2．即可得出x₀的取值范圍．

解答 解：（1）射線C₁：$θ=\frac{π}{3}$，可得直角坐標(biāo)方程：$y=xtan\frac{π}{3}$，化為y=$\sqrt{3}$x（x≥0）．
動(dòng)圓C₂：${ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0$（x₀∈R）化為${x}^{2}+{y}^{2}-2{x}_{0}x+{x}_{0}^{2}$-4=0，
配方為$（x-{x}_{0}）^{2}$+y²=4，可得圓心C₂（x₀，0），半徑r=2．
（2）當(dāng)動(dòng)圓C₂與射線C₁相切時(shí)，$\frac{r}{{x}_{0}}$=$sin\frac{π}{3}$，∴x₀=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
當(dāng)圓經(jīng)過原點(diǎn)且原點(diǎn)為一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x₀=2．
∴當(dāng)$2≤{x}_{0}＜\frac{4\sqrt{3}}{3}$時(shí)，射線C₁與動(dòng)圓C₂相交于M與N兩點(diǎn)．
∴x₀的取值范圍是$[2，\frac{4\sqrt{3}}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)函數(shù)直角坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．