Question

14．在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD與ADEF是邊長(zhǎng)均為a的正方形，四邊形ABGF是直角梯形，AB⊥AF，且FA=2FG=4FH．
（1）求證：平面BCG⊥平面EHG；
（2）若a=4，求四棱錐G-BCEF的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BH，推導(dǎo)出HG⊥GB，DA⊥AF，DA⊥AB，CB⊥HG，從而HG⊥平面BCG，由此能證明平面BCG⊥平面EHG．
（2）過(guò)B作AF的平行線交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連結(jié)AP、FB，交于點(diǎn)O，過(guò)G作GK⊥FB于K，由此能求出四棱錐G-BCEF的體積．

解答 證明：（1）連結(jié)BH，
∵四邊形ABCD與ADEF是邊長(zhǎng)均為a的正方形，四邊形ABGF是直角梯形，AB⊥AF，且FA=2FG=4FH，
∴AH=$\frac{3}{4}a，AB=a$，∴HB=$\sqrt{（\frac{3}{4}a）^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}a$，HG=$\sqrt{（\frac{1}{4}a）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}a$，
GB=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴HB²=HG²+GB²，∴HG⊥GB，
∵DA⊥AF，DA⊥AB，∴DA⊥平面ABGH，
又∵CB∥DA，∴CB⊥平面ABGF，∴CB⊥HG，
∵GB∩CB=B，∴HG⊥平面BCG，
∵HG⊥平面EHG，∴平面BCG⊥平面EHG．
解：（2）過(guò)B作AF的平行線交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連結(jié)AP、FB，交于點(diǎn)O，
過(guò)G作GK⊥FB于K，則GK=$\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
∴四邊形BCEF的面積S=4×$4\sqrt{2}$=16$\sqrt{2}$，
∴四棱錐G-BCEF的體積V_G-BCEF=$\frac{1}{3}×16\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{32}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查四棱錐的體積，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．