Question

【題目】如圖，在矩形中，已知，點(diǎn)、分別在、上，且，將四邊形沿折起，使點(diǎn)在平面上的射影在直線上．

（I）求證： ；

（II）求點(diǎn)到平面的距離；

（III）求直線與平面所成的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）2（3）

【解析】試題分析：

(1)由折疊關(guān)系可得平面， ．

(2)利于題意結(jié)合勾股定理列方程組，求解可得點(diǎn)到平面的距離為2；

(3)做出直線與平面所成的角，結(jié)合(1)(2)的結(jié)論可得直線與平面所成的正弦值為.

試題解析：

解：（1）由于平面， ，又由于， ，

平面， ．

法一：（2）設(shè)， ，過(guò)作垂直于，

因線段， 在翻折過(guò)程中長(zhǎng)度不變，根據(jù)勾股定理：

，可解得，

線段長(zhǎng)度為，即點(diǎn)的平面的距離為．

（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>

點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面距離的，

點(diǎn)平面的距離為，而，

直線與平面新角的正弦值為．

法二：（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作平面，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由于，

解得于是，所以線段的長(zhǎng)度為．

即點(diǎn)到平面的距離為．

（3）從而，故，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，

則