已知橢圓
與
的離心率相等. 直線
與曲線
交于
兩點（
在
的左側(cè)），與曲線
交于
兩點（
在
的左側(cè)）,
為坐標(biāo)原點，
．
（1）當(dāng)
=
，
時，求橢圓
的方程；
（2）若
，且
和
相似，求
的值．
（1）
的方程分別為
，
．（2）
.
【解析】
試題分析：（1）由于已知中明確了曲線方程的形式，所以，關(guān)鍵是建立“待定系數(shù)”.由已知建立方程組即可得解.
（2）由于三角形相似，因此要注意利用對應(yīng)邊成比例，并結(jié)合
，建立
的方程.將
與方程
，
聯(lián)立可得
在坐標(biāo)關(guān)系．
利用，得到
.
根據(jù)橢圓的對稱性可知：
，
，又
和
相似，得到
，
于是從
出發(fā)，得到
，即的方程.
試題解析：
（1）∵的離心率相等，
∴
,∴
， 2分
，將
分別代入曲線方程，
由
，
由
.
當(dāng)
=
時，
,
．
又∵
,
.
由
解得
.
∴的方程分別為，． 5分
（2）將代入曲線得
將代入曲線得
，
由于
，
所以
,
，
，
．
，
，
8分
根據(jù)橢圓的對稱性可知：，， 又和相似，
，
，
由
化簡得
代入
得 13分
考點：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)量積.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| MP |
| PN |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| a2 |
| c |
| ||
| 2 |
| AP |
| PB |
| OA |
| OB |
| OP |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知橢圓：，離心率為，焦點過
的直線交橢圓于兩點，且的周長為4.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ) 直線與y軸交于點P(0,m)(m0),與橢圓C交于相異兩點A,B且.若
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆江西省紅色六校高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓：
，離心率為
，焦點
過
的直線交橢圓于
兩點，且
的周長為4.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ) 直線
與y軸交于點P(0,m)(m
0),與橢圓C交于相異兩點A,B且
.若
,求m的取值范圍。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省濟南市高三下學(xué)期二月月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在y軸上，離心率
，橢圓上的點到焦點的最短距離為
, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且
.
（1）求橢圓方程；
（2）求
的取值范圍．
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