Question

已知遞增數列的前項和為,且滿足,.設,且數列的前項和為.

(1) 求證:數列為等差數列；

(2) 試求所有的正整數,使得為整數；

(3) 若對任意的,不等式恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

 (1)由,得,

所以,即,即,

所以或,

即或,

若,則有,又,所以,則,這與數列遞增矛盾,所以,故數列為等差數列.

(2) 由（1）知,所以

,

因為,所以,又且為奇數,所以或,故的值為或.

(3) 由(1)知,則,

所以

,

從而對任意恒成立等價于,

當為奇數時,恒成立,

記,則,當時取等號,所以,

當為偶數時,恒成立.

記,因為遞增,所以,

所以.綜上,實數的取值范圍為.