Question

10．函數(shù)f（x）=a^x-x³（a＞0，且a≠1）恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． 1＜a＜e${\;}^{\frac{3}{e}}$
• B． 1＜a＜e${\;}^{\frac{2}{e}}$
• C． 0＜a＜e${\;}^{\frac{3}{e}}$
• D． e${\;}^{\frac{2}{e}}$＜a＜e${\;}^{\frac{3}{e}}$

Answer 1

分析 原題意等價(jià)于方程a^x=x³恰有兩個(gè)不同的解．分類(lèi)討論結(jié)合函數(shù)思想求解
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=a^x與y=x³的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．
當(dāng)a＞1時(shí)，y=a^x與y=x³的圖象在x∈（-∞，0）上沒(méi)有交點(diǎn)，所以只考慮x＞0，
于是可兩邊同取自然對(duì)數(shù)，得xlna=3lnx，即lna=$\frac{3lnx}{x}$，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{3lnx}{x}$，求解$g'（x）=\frac{3-3lnx}{x^2}$，
利用導(dǎo)數(shù)求解即可．

解答 解：∵f（x）=a^x-x³（a＞0，且a≠1）恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
∴等價(jià)于方程a^x=x³恰有兩個(gè)不同的解．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=a^x與y=x³的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
不符合題意．
當(dāng)a＞1時(shí)，y=a^x與y=x³的圖象在x∈（-∞，0）上沒(méi)有交點(diǎn)，所以只考慮x＞0，
于是可兩邊同取自然對(duì)數(shù)，得xlna=3lnx，即lna=$\frac{3lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{3lnx}{x}$，則$g'（x）=\frac{3-3lnx}{x^2}$，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜1時(shí)，當(dāng)g（x）＜0，

x∈（e，+∞）時(shí)，g（x）單減且g（x）＞0．
∴要有兩個(gè)交點(diǎn)，0＜lna＜g（e）=$\frac{3}{e}$，即1＜a＜${e^{\frac{3}{e}}}$．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考察了運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決參變量的范圍問(wèn)題，分類(lèi)討論，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，屬于中檔題．