Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)量積的坐標運算結合兩角和的余弦求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；由向量的坐標加法運算求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，然后利用模的公式求模；
（2）把（1）中的結果代入f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，整理后利用配方法結合x的范圍得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos$\frac{3}{2}x$•cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3}{2}$x•sin$\frac{x}{2}$=cos2x．
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x）+（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）|=|（$cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}，sin\frac{3}{2}x-sin\frac{x}{2}$）|
=$\sqrt{（cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}）^{2}+（sin\frac{3}{2}x-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$=2cosx（x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]）；
（2）∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos2x，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2cosx，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cos2x-2cosx=2cos²x-2cosx-1．
令t=cosx，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，∴t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
∴y=f（x）=$2{t}^{2}-2t-1=2（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}$．
∴當t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$時，y有最小值為$2（\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}=-\sqrt{2}$；
當t=1，即x=0時，y有最大值為$2（1-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}=-1$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量模的求法，訓練了換元法求函數(shù)的最值，是中檔題．